Điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

#1
Chào mọi người. Vừa qua, em mới được học đến một trong các phần kiến thức toán quan trọng:các hằng đẳng thức đáng nhớ. Tuy nhiên trong quá trình luyện tập, em co làm một bài tập về tính giá trị biểu thức. Nhưng kết quả lại hơi vô lí. Sau đây la để bài:
cho x+y=3; xy=10. Không tìm x,y hãy tính (x-y)^2
Giải
Em làm như sau.
xét
Điều lạ ở chỗ (x-y)^2 >= 0. Nhưng kết quả của em lại ra -31 <0! Mọi người có thể cho em biết em có sai ở đâu không. Mà nếu không sai thì vì sao kết quả lại lạ vậy? Cảm ơn.(phần dưới công thức bị lỗi)
 
#3
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

Nếu 1 bài toàn mà sai với điều kiện thì ta kết luận phương trình vô nghiệm :D
 

blackhole

New member
#4
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

Chào mọi người. Vừa qua, em mới được học đến một trong các phần kiến thức toán quan trọng:các hằng đẳng thức đáng nhớ. Tuy nhiên trong quá trình luyện tập, em co làm một bài tập về tính giá trị biểu thức. Nhưng kết quả lại hơi vô lí. Sau đây la để bài:
cho x+y=3; xy=10. Không tìm x,y hãy tính (x-y)^2
Giải
Em làm như sau.
xét
Điều lạ ở chỗ (x-y)^2 >= 0. Nhưng kết quả của em lại ra -31 <0! Mọi người có thể cho em biết em có sai ở đâu không. Mà nếu không sai thì vì sao kết quả lại lạ vậy? Cảm ơn.(phần dưới công thức bị lỗi)
Thấy kết quả vô lý mà không chịu suy luận gì cả:
Làm gì có cặp số thực nào thỏa mãn điều kiện x+y=3 và x.y=10 đâu?
Dễ thấy (x+y)^2 < 4xy suy ra vô nghiệm.
 

halminton

New member
#5
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

uh` theo bất đẳng thức cosi cho 2 số dương thì (a+b)^2>=4ab(chứng minh giống bạn trình bày ở trên) với dữ liệu a+b=3,a.b=10 =>a,b duong rồi còn gì.
 
#6
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

Tạm thời em đã hiểu rồi cảm ơn mọi người. Nhưng em chưa học về bất đẳng thức Cosi, chưa kĩ về phần giải phương trình nên không suy luận được.
 
#7
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

Thực ra bài này có 2 ý:

1. Chứng minh sự tồn tại của x,y
2. Tính (x-y)^2
 
#8
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

Do em không tìm ra cặp số x,y thoả mãn x+y=3 và x.y=10 (không tồn tại cặp x,y), mà em hỏi như thế thì không được

(x-y)^2>=0 <=> x^2 + y^2 - 2xy>=0
em cho thì x^2 + y^2 nhỏ trong khi -2xy lớn quá thì làm sao (x-y)^2 >=0 được

Lớp 9 hay lớp 10 gì đó em học: 2 số x,y là nghiệm của pt: A^2 - 3A + 10 = 0 (pt này vô nghiệm do denta = 9 - 40 = -31 < 0)
Không có x,y nào thoả mãn nên em sai ở chỗ cho x + y = 3; xy = 10
 
#9
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

uh` theo bất đẳng thức cosi cho 2 số dương thì (a+b)^2>=4ab(chứng minh giống bạn trình bày ở trên) với dữ liệu a+b=3,a.b=10 =>a,b duong rồi còn gì.
hihi...nói vậy cũng chưa thật chính xác...
bạn đã có a,b dương rồi mới dùng đc bdt Cauchy vậy còn suy ra a,b dương chi nữa...
ab=10>0 suy ra a,b cùng dấu
mặt khác tổng a+b=3>0 nên a,b phải là ha số dương.
còn nếu giải ra (x-y)^2 là một số âm thì hoặc giải sai, hoặc đề sai, hoặc ko tồn tại 2 số x và y thoả... trường hợp này là không tồn tại nhỉ :sm (32)::sm (32):
 

halminton

New member
#10
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

ý của tui là muốn dùng bất đẳng thức cosi thì phải áp dụng cho 2 số dương mà theo đề bài thì 2 số này là số dương nên mình áp dụng cho bài này.mà câu trên là tôi nêu ra cái bất đẳng thức thôi mà.chứ có suy ra cai gì đâu.
 

faragona

New member
#11
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

Hic, hình như mọi người không để ý hay sao ấy, em ấy mới 15t, học lớp 8, làm gì đã biết tới Cauchy với cả điều kiện nghiệm của phương trình bậc 2!?
Trước khi trả lời thắc mắc thì mong mọi người để ý tới các thông tin khác như độ tuổi, cấp học,... để trả lời cho phù hợp, chứ đừng chưa gì đã chê bai này nọ, không tốt chút nào, nhất là anh blackhole :(
 

blackhole

New member
#12
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

Hic, hình như mọi người không để ý hay sao ấy, em ấy mới 15t, học lớp 8, làm gì đã biết tới Cauchy với cả điều kiện nghiệm của phương trình bậc 2!?
Trước khi trả lời thắc mắc thì mong mọi người để ý tới các thông tin khác như độ tuổi, cấp học,... để trả lời cho phù hợp, chứ đừng chưa gì đã chê bai này nọ, không tốt chút nào, nhất là anh blackhole :(
Chương trình em fagona nhắc tới anh sợ cũ rồi. Nếu đã đưa bài toán kiểu định lý vi ét này thì phải biết tới phương trình bậc hai rồi chứ. Nếu chưa biết thì đúng là lỗi của ngành giáo dục: cứ nhét bừa các số vào không cần biết nó có tồn tại hay không.
 

faragona

New member
#13
Ðề: điều lạ trong một bài toán hằng đẳng thức

=.=" bài này là một bài áp dụng hằng đẳng thức bình thường, nó chả liên quan gì tới Vi-ét với cả Cauchy. Em học năm đầu tiên chương trình cải cách đây. Định lý Vi-ét cấp 3 mới học, Cauchy là lớp 9. Không tin anh về hỏi em nào đó học lớp 10-11 mà hỏi.
 
#14
Mình nhớ hình như hồi 15t mình đã học lớp 10 rồi thì phải.
Và bây giờ mình đang dạy 7 hằng đẳng thức cho thằng cháu lớp 8 (theo chương trình sgk).
Cái này chẳng có gì to tát để phải lôi cả bất đẳng thức Cauchy vào đây cả. Chỉ cần sử dụng một điều cơ bản: bình phương của một số luôn luôn không âm. Thêm một phép biến đổi nữa là ra kết quả.
Thành thật mà nói, cái việc đọc + hiểu + suy nghĩ bây giờ trở thành quá khó khăn với một số người rồi thì phải.
 

April

New member
#16
Vì bạn thay số vào biểu thức nên kết quả (x-y)^2 = -31 < 0 , nên bạn kết luận vô lí , vậy thì có cách nào : ko cần tính toán, mà vẫn kết luận đc : bài toán ban đầu cho x, y vô nghĩa …có đc hay ko ?
Do đó, mình xin trả lời câu hỏi của bạn :

Ta có : x+y = 3 và xy = 10 (*)
Suy ra y = 3 – x , do đó : xy = 10
Tương tương x.(3-x) = 10
3x – x^2 = 10
x^2 – 3x + 10 = 0
x^2 – 2 . 1,5 .x + 2,25 + 7,75 = 0
(x^2 – 1,5)^2 + 7,75 = 0

Điều này vô lý vì bình phương luôn là số ko âm , nên (x^2 – 1,5)^2 + 7,75 > 0 với mọi x .

Bài toán đã chứng minh (*) vô lí , ko tồn tại cặp x, y nào thỏa yêu cầu bài toán. Vậy : ko cần thay số hay là tính giá trị ra số âm, mà vẫn kết luận dc !!
 

pitturt

New member
#17
Nếu tính thấy kết quả vô lí thì thử lại bằng cách tìm x,y. Nhìn sơ là thấy hình như không có x,y nào thoả đk x+y=3 và x.y=10 :D
 

LunaNight

New member
#18
x + y = 3 => x = 3 - y
Thay x = 3 - y và xy = 10 ta được:
(3 - y)y = 10
3y - y^2 = 10
=> 3y - y^2 - 10 = 0
3y + (-y^2) - 10 = 0
(-y^2) + 3y - 10 = 0
(-1)y^2 + 3y - 10 = 0
Delta = 3^2 - 4 .(-1) . (-10) = 9 - (-4) . (-10) = 9 - 40 = - 31
- 31 < 0 => Delta < 0
=> x thuộc tập hợp rỗng.
=> y thuộc tập hợp rỗng.
Em biết Delta là nhờ học từ "kenvinthienpro" chứ em vẫn lớp 7.
 

April

New member
#20
@thienvanlatatca: mình chuyển 3x - x^2 từ vế trái qua vế phải , nên ko đổi dấu số 10 !!!! vì mình đâu có chuyển vế of số 10 .
 

Top